Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных. Гаусса. Пример такой системы на рисунке сверху. Алгоритм Решение Системы Гаусса С' title='Алгоритм Решение Системы Гаусса С' />В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и е значение можно однозначно. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение обратный ход метода Гаусса, из которого находят предыдущую. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трх случаях работает одинаково. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса широко известный прямой алгоритм решения систем линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов. Эта статья о решении систем линейных уравнений методом Гаусса, подробно. Метод Гаусса описание алгоритма решения системы линейных. Преимущества метода Гаусса при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трх метод. Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса. Гаусса можно решать неопределнные системы линейных уравнений, то есть, имеющие. Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределнна методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных. Гаусса основан на элементарных школьных методах методе подстановки неизвестных. Кроме того, метод Гаусса является. Учебник Fairyland 4 далее. Чтобы все. прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные треугольные, ступенчатые системы линейных. Алгоритм Решение Системы Гаусса С' title='Алгоритм Решение Системы Гаусса С' />Гаусса. Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход. Гаусса Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно. Подставляем е значение во второе уравнение и получаем значение. Теперь нам известны значения уже двух переменных z и y. Подставляем. их в первое уравнение и получаем значение переменной x Таким образом получили решение системы уравнений Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень. Гаусса, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Статья посвящена реализации алгоритма Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Java. Алгоритму решения систем в полях Галуа. Модификацией метода Гаусса является метод Жордана. Однако для решения систем. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда. Это также не очень сложно. Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только. Такое сложение один из видов. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами. При решении методом Гаусса систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно переставлять местами строки это и было упомянуто в самом начале этой статьи если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки. Матрица такой системы квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов. Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений. Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Получим систему, эквивалентную данной, так как в. С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на. Это возможно, так как. Если бы в нашей системе уравнений было больше трх, то следовало бы прибавлять и ко всем. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго. Для упрощения второй строки полученной системы умножим е на и. Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на. Для этого из последнего уравнения определим z. Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдм y Из первого уравнения найдм x Итак, решение данной системы. Если же система имеет. Гаусса. Отличие от нашего демо примера из алгоритма здесь уже четыре уравнения и. Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку. Проведм теперь собственно исключение переменной. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на. Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из. Для этого к четвртой строке прибавим третью, умноженную на. Искомое решение находим с конца. Из четвртого уравнения имеем. Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем ,откуда. Далее, подставляем значения  и во второе уравнение системы ,т. Наконец, подстановка значений. Итак, данная система уравнений имеет единственное решение. Если же система имеет. Гаусса. Аналогичные задачи задачи на смеси. Пример 4. Три куска сплава имеют общую массу 1. При этом во втором и третьем. Найти массу каждого куска сплава. Решение. Составляем систему линейных уравнений Умножаем второе и третье уравнения на 1. Составляем расширенную матрицу системы Внимание, прямой ход метода Гаусса. Путм сложения в нашем случае вычитания. Прямой ход метода Гаусса завершился. Получили расширенную матрицу. Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Видим, что. Из второго уравнения находим,Из третьего уравнения. Если же система имеет. Гаусса. Кроме метода его имени из творчества Гаусса. К решению методом Гаусса таких систем. С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными. Следующий пример совместная, но неопределнная система линейных уравнений, то есть. Такие системы также возможно решить методом Гаусса. После выполнения преобразований в расширенной матрице системы. Если во всех уравнениях имеющих вид. Следующий пример несовместная система линейных уравнений, то есть. Метод Гаусса позволяет определить, что система линейных уравнений не имеет решений. Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида,соответствующие уравнению вида. Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом т. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную. Для этого к четвртой строке прибавим третью, умноженную на. Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей Полученная система несовместна, так как е последнее уравнение. Следовательно, данная система не имеет решений. Следующий пример система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше. Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную. Далее. новые вторую, третью и четвртую строки умножаем на. Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную  из последующих уравнений. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором. Для этого четвртую строку умножаем на, а полученную в результате четвртую строку. Проведм теперь исключение переменной. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на. Четвртая и третья строки одинаковые, поэтому четвртую исключаем из матрицы. А третью. умножаем на. Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей и известны, а. Итак, данная система уравнений имеет единственное решение 1 1 1. Следующий пример система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше. Их можно отбросить. Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 0, например, третьему и четвртому, отброшенным уравнениям, придадим произвольные значения пример 2. В них можно подставлять любые численные значения и. Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных. Следовательно, в этом случае неопределнной является. Продолжение темы.